Question

7．如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若eO的半徑為4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）連接OC，則得出∠COD=2∠CAO=2∠D=60°，可求得∠OCD=90°，可得出結(jié)論；
（2）可利用△OCD的面積-扇形BOC的面積求得陰影部分的面積．

解答 （1）證明：連接OC，則∠COD=2∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=4，OD=8，由勾股定理可求得CD=4$\sqrt{3}$，
所以S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
因為∠COD=60°，
所以S_扇形COB=$\frac{60π{×4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}π$，
所以S_陰影=S_△OCD-S_扇形COB=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}π$．

點評 本題主要考查切線的判定及扇形面積的計算，證明切線時，連接過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．