Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．

(1)如圖，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：________；

(2)如圖，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由．如果成立請(qǐng)證明；

(3)如圖，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長(zhǎng)．

(可利用(2)得到的結(jié)論)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖AH＝AB　　1分 　　(2)數(shù)量關(guān)系成立．如圖，延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN 　　∵ABCD是正方形 　　∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90° 　　∴Rt△AEB≌Rt△AND　　3分 　　∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD 　　∴∠EAM＝∠NAM＝45° 　　∵AM＝AM 　　∴△AEM≌△ANM　　4分 　　∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高， 　　∴AB＝AH　　5分 　　(3)如圖分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 　　得到△ABM和△AND 　　∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90° 　　分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE． 　　由(2)可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 　　設(shè)AH＝x，則MC＝， 　　NC＝　�、� 　　在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得 　　 　　∴　　6分 　　解得．(不符合題意，舍去) 　　∴AH＝6　　7分