Question

已知拋物線y=x²+kx+k-2．
（1）求證：不論k為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又與拋物線交于點(diǎn)A（n，-3），求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式進(jìn)行證明；
（2）先根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱性求出反比例函數(shù)解析式，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出n的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，分①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)兩種情況與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：∵反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴拋物線解析式為：y=x²+5x+3；

（3）解：∵拋物線上的點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，
∴①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同時(shí)，y=x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)時(shí)，y=-x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，仔細(xì)分析不難求解．