Question

△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．
（1）如圖①，AE⊥BC于E，求證：CD=2AE；

（2）如圖②，P是AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD；

（3）在（2）中，若P為AC的延長線上任意一點，其它條件不變，請你在備用圖中畫出圖形，并探究線段PE、PF、CD之間的數量關系．

Answer 1

（1）證明：S_△ABC=AB•CD=BC•AE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×CD=×4×AE，
即CD=2AE；

（2）證明：如圖②，連接PB，則S_△ABC=S_△ABP+S_△BCP，
即AB•CD=AB•PF+BC•PE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×CD=×2×PF+×4×PE，
即CD=PF+2PE，
故2PE+PF=CD；

（3）解：如圖③，連接PB，則S_△ABP=S_△ABC+S_△PBC，
即AB•PF=AB•CD+BC•PE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×PF=×2×CD+×4×PE，
即PF=CD+2PE．
分析：（1）分別以AB、BC邊為底邊，利用△ABC的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；
（2）連接PB，根據△ABC的面積等于△ABP和△BCP的面積的和，然后列式整理即可得證；
（3）作出圖形，連接PB，然后根據△ABP的面積等于△ABC的面積和△PBC的面積的和，列式整理即可得解．
點評：本題綜合考查了三角形的知識，把同一個三角形的面積采用不同方法列式表示出來，然后再把已知數據代入進行計算求解，所以（2）（3）兩小題作出輔助線把三角形分割成兩個三角形是解題的關鍵，面積法也是解三角形問題常用的方法之一，需熟練掌握．