Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，過三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）       求拋物線的解析式；

（2）       求當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）       以點(diǎn)為圓心，以為半徑作．

①證明：當(dāng)最小時(shí)，直線與相切．

②寫出直線與相切時(shí)，點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：___________．

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為．

將代入上式，得．

解，得．

拋物線的解析式為．

即．

（2）連接，交直線于點(diǎn)．

 

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，

．

．

由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：

此時(shí)最小，點(diǎn)的位置即為所求．

設(shè)直線的解析式為，

由直線過點(diǎn)，，得

解這個(gè)方程組，得

直線的解析式為．

由（1）知：對(duì)稱軸為，即．

將代入，得．

點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)也可，答案正確給2分．

（3）①連接．設(shè)直線與軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)．

由（1）知：當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．

．

．

．

．

與相切．

②．