Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=-3，該拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，4），以AB為直徑的⊙M恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸上求作一點(diǎn)E，使得△BDE的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)C作⊙M的切線CF交x軸于點(diǎn)F，試判斷直線CF是否經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連接MC．在Rt△MCO中，由勾股定理得MC=5．
∴MA=MB=5，∴A（-8，0）、B（2，0），
由A（-8，0）、B（2，0）、C（0，4）可求得這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²-x+4；

（2）連接AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，
由A（-8，0）、D（0，-4）可求得直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-4，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，-）；

（3）∵直線CF為⊙O的切線，
∴∠MCF=90°．
又∵∠OMC=∠CMF，
∴Rt△OMC∽R(shí)t△CMF．
∴=，即=．
解得MF=．
∴OF=，
∴F（，0），
由C（0，4）、F（，0）可求得直線CF所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+4，
又∵y=-x²-x+4=-1，4（x+3）²+，
∴拋物線的頂點(diǎn)P（-3，），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P（-3，）在直線CF：y=-x+4上，即直線CF經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P．
分析：（1）連接MC．在Rt△MCO中，由勾股定理得MC=5，故可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，由A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于直線CF為⊙O的切線，故∠MCF=90°，再根據(jù)∠OMC=∠CMF可知Rt△OMC∽R(shí)t△CMF，由相似三角形的性質(zhì)可求出MF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出CF所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，由（1）中所求拋物線的解析式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，把其頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線CF的解析式看是否適合即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．