(2003•內蒙古)已知關于x的二次函數(shù)y=-x2+(2m+3)x+4-m2的圖象與x軸交于A、B兩點,點A在點B的左邊,與y軸的交點C在原點的上方,若A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足4(OB-AO)=3AO•OB.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)求這個二次函數(shù)圖象的頂點M的坐標,并畫出函數(shù)圖象的略圖;
(3)求△AMC的面積.
【答案】分析:(1)本題可根據(jù)韋達定理和題中給出的OA、OB的關系式來求m的值,以此來得出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可用配方法或公式法求出M的坐標;
(3)由于三角形ACM的面積無法直接求出,設AM與y軸的交點為D,可將其分割成三角形ADC和CDM兩部分來求.可先求出直線AM的解析式,得出D的坐標后再求三角形AMC的面積.
解答:解:(1)∵拋物線與y軸的交點在原點上方,且拋物線開口向下
∴A、B必在原點兩側.
∵點A在點B的左邊,因此A在x軸的負半軸,B在x軸的正半軸.
設A(x1,0),B(x2,0),那么OA=-x1,OB=x2
則有:x1+x2=2m+3,x1x2=m2-4.
∵4(OB-AO)=3AO•OB,即4(x2+x1)=-3x1x2
4(2m+3)=-3(m2-4),
解得m=0,m=-,
∵拋物線與y軸的交點C在y軸正半軸
∴4-m2>0,即-2<m<2,
∴m=0.
∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4;

(2)由(1)知:y=-x2+3x+4=-(x-2+,
∴M(,);

(3)設直線AM與y軸的交點為D.
易知A(-1,0),M(),
∴直線AM的解析式為y=x+
∴D(,),
∴CD=OC-OD=4-=,
∴S△ACM=S△ACD+S△CDM=××1+××=
點評:本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系、一元二次方程根與系數(shù)的關系、函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點等知識.
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(2)求這個二次函數(shù)圖象的頂點M的坐標,并畫出函數(shù)圖象的略圖;
(3)求△AMC的面積.

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A.8
B.9
C.10
D.12

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