Question

3．如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，交AB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC=CE；
（2）若AB=1，BC=2，求點(diǎn)E到AC的距離．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AC=BD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=CD，可得AE∥CD，證出四邊形BECD是平行四邊形，得出BD=CE，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)E到AC的距離為h，由勾股定理求出AC，由三角形的面積得出△ACE的面積=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AE×BC，求出h即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=CD，
∴AE∥CD，
∵CE∥BD，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∴BD=CE，
∴AC=CE；
（2）解：設(shè)點(diǎn)E到AC的距離為h，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，四邊形BECD是平行四邊形，
∴BE=CD=AB=1，
∴AE=AB+BE=2，
∵△ACE的面積=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AE×BC，即$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$•h=$\frac{1}{2}$×2×2，
解得：h=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
即點(diǎn)E到AC的距離為$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．