Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+px+q（p<0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），△ABC的面積為。

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）過(guò)y軸上的一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ACBD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=;(2)- ≤m≤;(3) (， 或（-，9）

【解析】試題分析：（1）由△ABC的面積為，可得AB×OC=，又二次函數(shù)y=x2+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1）可求得該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)直線與圓的位置的位置關(guān)系確定m的取值范圍．
（3）四邊形ABCD為直角梯形，要分類討論，即究竟那條邊為底．可以分別以AC、BC為底進(jìn)行討論．

試題解析：

（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），得OC=1，
又∵△ABC的面積為，
∴，即，
由拋物線與y軸交于（0，-1），
得y=x2+px+g（p<0）中的q=-1，
則當(dāng)y=0時(shí)，0=x2+px-1，設(shè)它的兩個(gè)根為x1、x2，
則x1+x2=-p，x1x2=-1，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，0）、（x2，0），
由直角坐標(biāo)系上兩點(diǎn)間的距離公式可得x2-x1=AB=，
∴，
∴x12+x22-2x1x2=，
∴x12+x22+2x1x2-4x1x2=，
∴（x1+x2）2-4x1x2=，即p2+4=，解得，
∵p<0，∴p=，
∴該拋物線的關(guān)系式為；

（2）設(shè)△ABC的外接圓交y軸于另一點(diǎn)D，如圖
由得x1=2，，
∴，
連接AD，

在△ABC的外接圓中，
∵，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴DO=1，
∴CO=DO=1，
又∵AB⊥CD，
∴AB過(guò)△ABC外接圓的圓心，即AB為△ABC外接圓的直徑，
∴△ABC外接圓的直徑為，
∴直線與△ABC的外接圓相切，
∴；

（3）存在
∵AB是△ABC外接圓的直徑，
∴∠ACB=90°，這時(shí)拋物線上必有點(diǎn)D，且當(dāng)AD∥BC或BD∥AC時(shí)使四邊形ACBD為直角梯形，
當(dāng)AD∥BC時(shí)，可求得直線BC的關(guān)系式為，
∴直線AD的關(guān)系式為，
則它與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
當(dāng)BD∥AC時(shí)，可求直線AC的關(guān)系式為y=-2x-1，
∴直線BD的關(guān)系式為y=-2x+4，
則它與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)點(diǎn)D在或的位置時(shí)，四邊形ACBD為直角梯形。