Question

1．如圖①，在矩形ABCD中，AC為對角線，AB=4，AD=3，點P從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿A-C-B-A運動一周到點A停止，點Q始終為線段AP的中點，當點P與點A不重合時，過點Q作QM⊥AP交邊AD或DC于點M，以PQ，QM為邊作矩形PQMN．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）當點P在線段AC上運動時．
①用含t的代數(shù)式表示線段QM的長；
②當矩形PQMN與△ADC重疊部分圖形不是五邊形時，設(shè)重疊部分圖形面積為S（平方單位），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當點P沿A-C-B運動時，如圖①，圖②，若矩形PQMN為正方形，求t的值；
（3）設(shè)點C關(guān)于直線PN的對稱點為點C′，點D關(guān)于直線MN的對稱點為點D′．直接寫出線段C′D′與矩形PQMN的邊只有一個公共點時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①分兩種切線當點M在線段AD上運動時，當點M在CD上時，利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
②分兩種情形如圖1中，當0＜t$≤\frac{45}{35}$時，如圖2中，當$\frac{9}{5}$$≤t≤\frac{5}{2}$時，分別求解即可．
（2）分兩種情形如圖3中，當點P在AC上時，點M在CD上時，如圖4中，當點P在BC上時，分別列出方程即可解決問題．
（3）如圖5中，當點D關(guān)于MN的對稱點在AC上時，易知點M是AD中點，求出此時t的值，根據(jù)圖6、圖7可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）①當點M在線段AD上運動時（如圖1中），

∵∠QAM=∠DAC，∠AQM=∠D=90°，
∴△AQM∽△ADC，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QM}{CD}$，
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{QM}{4}$，
∴QM=$\frac{4}{3}$t．
當點M在CD上時（如圖2中）

，由△CQM∽△CDA，得$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{QM}{AD}$，
∴$\frac{5-t}{4}$=$\frac{QM}{3}$，
∴QM=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{4}$．

②如圖1中，當0＜t$≤\frac{45}{35}$時，S=$\frac{3}{4}$t•t=$\frac{3}{4}$t²．
如圖2中，當$\frac{9}{5}$$≤t≤\frac{5}{2}$時，S=$\frac{1}{2}$•[$\frac{3}{4}$（5-2t）+$\frac{3}{4}$（5-t）]•t=-$\frac{9}{8}$t²+$\frac{15}{4}t$．

（2）如圖3中，當點P在AC上時，點M在CD上時，

∵矩形PQMN為正方形，
∴PQ=QM，
∴t=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{4}$，
∴t=$\frac{15}{7}$，
如圖4中，當點P在BC上時，

過點Q作QE⊥CD于E，QF⊥BC于F．
∵矩形PQMN是正方形，
∴QM=QP，∠MQP=∠EQF=90°，
∴∠MQE=∠PQF，∵∠QEM=∠QFP=90°，
∴△QEM≌△QFP，
∴QF=QE，
∵AQ=PQ，QF∥AB，
∴BF=FP，
∴QF=QE=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=3-2=1，
∴PB=2BF=2，
∴8-2t=2，
∴t=3．

（3）如圖5中，當點D關(guān)于MN的對稱點在AC上時，易知點M是AD中點，當點M與D重合時，AQ=$\frac{9}{5}$，

由△AQM∽△ADC，得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{5}$=$\frac{t}{3}$，
∴t=$\frac{9}{10}$，
∴由圖6可知，當$\frac{9}{10}$＜t＜$\frac{9}{5}$時，線段C′D′與矩形PQMN的邊只有一個公共點，

由圖7中可知，當$\frac{5}{2}$＜t＜4時，線段C′D′與矩形PQMN的邊只有一個公共點．

如圖8中，當點P在AB邊上時，滿足CN=NM=DM時，線段C′D′與矩形PQMN的邊只有一個交點，此時t=$\frac{5+3+\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{14}{3}$．


綜上所述當$\frac{9}{10}$＜t＜$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$＜t＜4或t=$\frac{14}{3}$s時，線段C′D′與矩形PQMN的邊只有一個公共點．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會正確畫出圖形，學會分類討論，充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．