Question

7．如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．
（1）求證：BG=AE；
（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）
①求證：BG⊥GE；
②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求$\frac{GM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90°，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，則可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x，所以GM=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$x，于是可計算出$\frac{GM}{MD}$的值．

解答 （1）證明：如圖①，
∵AD為等腰直角△ABC的高，
∴AD=BD，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDG=∠ADE}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
（2）①證明：如圖②，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴△DEG為等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE，
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，
∴BG⊥GE；
②解：設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，
∵△BDG≌△ADE，
∴BG=AE=4x，
在Rt△BGA中，AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{（4x）^{2}+（3x）^{2}}$=5x，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴∠4=45°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，
∴△DBM∽△DGB，
∴BD：DG=DM：BD，即$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x=DM：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，解得DM=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x，
∴GM=DG-DM=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$x，
∴$\frac{GM}{MD}$=$\frac{\frac{12\sqrt{2}}{7}x}{\frac{25\sqrt{2}}{14}x}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會運用全等三角形的知識解決線段相等的問題；利用代數(shù)式表示線段可較好得表示線段之間的關(guān)系；會運用相似比求線段的長．