【題目】如圖1,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且點A、C、E在一條直線上,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,CD與BE交于點Q,連接PQ
(1)求證:AD=BE;
(2)∠AOB的度數(shù)為 ;PQ與AE的位置關(guān)系是 ;
(3)如圖2,△ABC固定,將△CDE繞點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)中的結(jié)論是否總成立?∠AOB的度數(shù)是否改變?并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)60°,PQ∥AE;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)中的結(jié)論總成立,∠AOB的度數(shù)不會改變,見解析
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,求出∠BCE=∠ACD,根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可;
(2)由三角形的外角性質(zhì),可得∠AOB=∠BEA+∠DAC,∠ACB=∠EBC+∠BEA,則∠AOB=∠ACB=60°,證明∠QPC=∠BCA,可得PQ∥AE;
(3)證明△ACD≌△BCE(SAS),得到AD=BE,∠DAC=∠EBC,根據(jù)∠BOA=180°﹣∠ABO﹣∠BAO=180°﹣∠ABC﹣∠BAC,即可解答.
(1)證明:∵△ABC和△CDE為等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;
(2)∵△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=∠EBC,
由三角形的外角性質(zhì),∠AOB=∠BEA+∠DAC,
∠ACB=∠EBC+∠BEA,
∴∠AOB=∠ACB=60°;
∵∠DCP=60°=∠ECQ,
∴在△CDP和△CEQ中,
∠ADC=∠BEC,CD=CE,∠DCP=∠ECQ,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,△PCQ是等邊三角形,
∴∠QPC=∠BCA,
∴PQ∥AE;
故答案為:60°,PQ∥AE;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)中的結(jié)論總成立,∠AOB的度數(shù)不會改變,理由如下:
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠DAC=∠EBC,
∴∠BOA=180°﹣∠ABO﹣∠BAO=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°.
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【題目】如圖,數(shù)軸上的點A、B、C、D、E表示連續(xù)的五個整數(shù),對應(yīng)數(shù)分別為a、b、c、d、e.
(1)若a+e=0,則代數(shù)式b+c+d= ;
(2)若a是最小的正整數(shù),先化簡,再求值:;
(3)若a+b+c+d=2,數(shù)軸上的點M表示的實數(shù)為m(m與a、b、c、d、e不同),且滿足MA+MD=3,則m的范圍是 .
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是弧BD的中點,CE⊥AB于點F.
(1)求證:BF=CF;
(2)若CD=3cm,AC=4cm,求⊙O的半徑及CE的長.
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【題目】如圖,在中,是原點,是的角平分線.
確定所在直線的函數(shù)表達式;
在線段上是否有一點,使點到軸和軸的距離相等,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由;
在線段上是否有一點,使點到點和點的距離相等,若存在,直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】2016年9月,某手機公司發(fā)布了新款智能手機,為了調(diào)查某小區(qū)業(yè)主對該款手機的購買意向,該公司在某小區(qū)隨機對部分業(yè)主進行了問卷調(diào)查,規(guī)定每人只能從A類(立刻去搶購)、B類(降價后再去買)、C類(猶豫中)、D類(肯定不買)這四類中選一類,并制成了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,由圖中所給出的信息解答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計圖中B類對應(yīng)的百分比為 %,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該小區(qū)共有4000人,請你估計該小區(qū)大約有多少人立刻去搶購該款手機.
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【題目】數(shù)學課上,李老師出示了如下框中的題目.
在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由. |
小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:
(1)特殊情況,探索結(jié)論
當點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
圖1 圖2
(2)特例啟發(fā),解答題目
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).
理由如下:如圖2,過點E作EF∥BC,交AC于點F.
(請你完成以下解答過程)
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).
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【題目】如圖,已知直線y=kx+b交x軸于點A,交y軸于點B,直線y=2x﹣4交x軸于點D,與直線AB相交于點C(3,2).
(1)根據(jù)圖象,寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集;
(2)若點A的坐標為(5,0),求直線AB的解析式;
(3)在(2)的條件下,求四邊形BODC的面積.
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【題目】(本小題滿分8分)某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場,就用13200元購進了一批這種襯衫,面市后果然供不應(yīng)求.商家又用28800元購進了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進量的2倍,但單價貴了10元.
(1)該商家購進的第一批襯衫是多少件?
(2)若兩批襯衫按相同的標價銷售,最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出,如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于25%(不考慮其它因素),那么每件襯衫的標價至少是多少元?
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