Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE²-BE²等于（ ）

A．AC²
B．BD²
C．BC²
D．DE²

Answer 1

【答案】分析：取AB的中點F，連接DF．觀察要求的式子，首先利用平方差公式進行轉(zhuǎn)換，可得AE²-BE²=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF，只需求解BF•EF的值；
根據(jù)射影定理，易證△DEF∽△BDF，得到EF•BF=DF²．再進一步觀察選擇題的答案，結(jié)合三角形的中位線定理即可求解．
解答：解：作AB的中點F，連接DF，

則DF∥AC，DF=AC．
在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．
∴．
即EF•BF=DF²=AC²．
∴AE²-BE²=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF=AC²．
故選A．
點評：巧妙構(gòu)造輔助線，運用因式分解的方法把要求的結(jié)論進行轉(zhuǎn)換，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理進行解答．