Question

已知關于x的一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，
（1）求a的取值范圍；
（2）若5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂；求a的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,一元二次方程的定義,根的判別式

專題：計算題

分析：（1）根據一元二次方程根的定義和判別式的意義得到a-1≠0且△=4-4（a-1）＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；
（2）根據根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=

2

a-1

，x₁•x₂=

1

a-1

，再變形5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂得到5（x₁+x₂）+2x₁x₂=2a，利用整體代入方法得

10

a-1

+

2

a-1

=2a，
解分式方程，然后根據（1）中的條件得到a的值．

解答：解：（1）根據題意得a-1≠0且△=4-4（a-1）＞0，
解得a＜2且a≠1；

（2）根據題意得x₁+x₂=

2

a-1

，x₁•x₂=

1

a-1

，
∵5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂，
∴5（x₁+x₂）+2x₁x₂=2a，
∴

10

a-1

+

2

a-1

=2a，
整理得a²-a-6=0，解得a₁=3，a₂=-2，
∵a＜2且a≠1，
∴a=-2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．