Question

如圖，直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸分別交于點A，點B，在第一象限是否存在點P，使以A，B，P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形

專題：

分析：分三種情況分別討論求得；①當(dāng)∠PAB=90°時，過P作PD⊥x軸于D，通過△ABO≌△PAD即可求得；②當(dāng)∠PBA=90°時，過P作PE⊥y軸于E，通過△ABO≌△BPE即可求得；③當(dāng)∠APB=90°時，過P作PG⊥x軸，過B作BH⊥PG，通過△PBH≌△APG即可求得；

解答：解：存在點P．理由如下：
∵直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸分別交于點A，點B，
∴A（4，0），B（0，3）；
①當(dāng)∠PAB=90°時，過P作PD⊥x軸于D，如圖1，

∵∠ABO+∠OAB=90°，∠PAD+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠PAD，
在△ABO和△PAD中，

∠ABO=∠PAD ∠AOB=∠PDA=90° BA=PA

，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴AD=OB，PD=OA，
∴OD=OA+OB=4+3=7，PD=4，
∴P的坐標(biāo)為（7，4）；
②當(dāng)∠PBA=90°時，過P作PE⊥y軸于E，如圖2，

同理可證△ABO≌△BPE，
∴BE=OA．PE=OB，
∴OE=OB+BE=3+4=7，PE=3，
∴P的坐標(biāo)為（3，7）；
③當(dāng)∠APB=90°時，如圖3，過P作PG⊥x軸，過B作BH⊥PG，


∵△PAB為等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠BPH+∠APG=90°，
∵∠BPH+∠PBH=90°，
∴∠APG=∠PBH，
在△PBH和△APG中，

∠APG=∉PBH ∠PHB=∠AGP=90° PB=PA

，
∴△PBH≌△APG（AAS），
∴BH=PG，PH=GA，
設(shè)BH=PG=x，PH=GA=y，
則x+y=4，x-y=3，
解得x=

7

2

，y=

1

2

，
∴P的坐標(biāo)為（

7

2

，

7

2

）．
綜上，P的坐標(biāo)為（7，4）或（3，7）或（

7

2

，

7

2

）；

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．