Question

2．為支援四川抗震救災(zāi)，某省某市A、B、C三地分別有賑災(zāi)物資100噸、100噸、80噸，需要全部運(yùn)往四川重災(zāi)區(qū)的甲、乙兩縣．根據(jù)災(zāi)區(qū)的情況，這批賑災(zāi)物資運(yùn)往甲縣的數(shù)量比運(yùn)往乙縣的數(shù)量的2倍少20噸．
（1）求這批賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣的數(shù)量各是多少噸？
（2）若要求C地運(yùn)往甲縣的賑災(zāi)物資為60噸，A地運(yùn)往甲縣的賑災(zāi)物資為x噸（x為整數(shù)），B地運(yùn)往甲縣的賑災(zāi)物資數(shù)量少于A地運(yùn)往甲縣的賑災(zāi)物資數(shù)量的2倍，其余的賑災(zāi)物資全部運(yùn)往乙縣，且B地運(yùn)往乙縣的賑災(zāi)物資數(shù)量不超過25噸．則A、B兩地的賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣的方案有幾種？
（3）已知A、B、C三地的賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣的費(fèi)用如表：

	A地	B地	C地
運(yùn)往甲縣的費(fèi)用（元/噸）	220	200	200
運(yùn)往乙縣的費(fèi)用（元/噸）	250	220	210

為及時(shí)將這批賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣，某公司主動(dòng)承擔(dān)運(yùn)送這批物資的總費(fèi)用，在（2）的要求下，該公司
承擔(dān)運(yùn)送這批賑災(zāi)物資的總費(fèi)用最多是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)這批賑災(zāi)物資運(yùn)往乙縣的數(shù)量是a噸，則運(yùn)往甲縣的數(shù)量是（2a-20）噸，根據(jù)A、B、C三地分別有賑災(zāi)物資100噸、100噸、80噸，說明賑災(zāi)物資一共有280噸，根據(jù)等量關(guān)系式：運(yùn)往甲縣的數(shù)量+運(yùn)往乙縣的數(shù)量=280列方程解出．
（2）由A地→甲縣x噸，C地→甲縣60噸，可知B地→甲縣（180-60-x）噸，A地→乙縣（100-x）噸，C地→乙縣80-60=20噸，B地→乙縣[100-（180-60-x）]噸；根據(jù)B地→甲縣數(shù)量＜A地→甲縣數(shù)量的2倍得：180-60-x＜2x；根據(jù)B地→乙縣數(shù)量不超過25噸得：100-（180-60-x）≤25；列不等式組求整數(shù)解．
（3）設(shè)總費(fèi)用為w元，表示出w的值，化成一次函數(shù)，利用增減性求最大值．

解答 解：（1）設(shè)這批賑災(zāi)物資運(yùn)往乙縣的數(shù)量是a噸，則運(yùn)往甲縣的數(shù)量是（2a-20）噸，
則a+2a-20=100+100+80，
a=100，
2a-20=2×100-20=180，
答：這批賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣的數(shù)量分別是180噸、100噸．
（2）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{180-60-x＜2x①}\\{100-（180-60-x）≤25②}\end{array}\right.$，
解①得：x＞40，
解②得：x≤45，
∴不等式組的解集為：40＜x≤45，
整數(shù)解為：41、42、43、44、45；
則A、B兩地的賑災(zāi)物資運(yùn)往甲、乙兩縣的方案有五種；
（3）設(shè)總費(fèi)用為w元，
則w=220x+250（100-x）+200（180-60-x）+220（x-20）+200×60+210×20，
w=-10x+60800，
∵-10＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=41時(shí)，w有最大值，w_大=-10×41+60800=60390，
答：該公司承擔(dān)運(yùn)送這批賑災(zāi)物資的總費(fèi)用最多是60390元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)的最值問題，把函數(shù)和應(yīng)用題結(jié)合起來，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，理解是關(guān)鍵；本題的第一問是運(yùn)用一元一次方程來求解，也可以利用二元一次方程組求解；在應(yīng)用題中求最值問題，可以把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，這個(gè)解題思路常用．