Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)是（0，a），點(diǎn)B坐標(biāo)是（b，0），且a、b滿足a2﹣12a+36+＝0

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，OC＜OB，BD⊥AC于D交y軸于點(diǎn)E，求證：DO平分∠CDB；

（3）如圖2，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為x軸正半軸點(diǎn)B右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG的垂線FH，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，S△AFH﹣S△FBG的值是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（6，0）（2）見(jiàn)解析;（3）S△AFH﹣S△FEG的值不發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由非負(fù)性可求a，b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，進(jìn)而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式解答即可．

解：（1）∵a2﹣12a+36+＝0

∴（a﹣6）2+＝0，

∴a＝b＝6，

∴點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（6，0）

（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，

∵x軸⊥y軸

∴∠AOC＝∠BOE＝90°

∴∠ACO+∠CAO＝90°

∵BD⊥AC

∴∠BCD+∠CBE＝90°

∴∠CAO＝∠CBE，

∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，6），（6，0）

∴OA＝OB＝6，

在△AOC和△BOE中,

∴△AOC≌△BOE（ASA）

∴OE＝OC，S△AOC＝S△BOE，AC＝BE，

∴ACON＝BCOM

∴OM＝ON，且OM⊥BD，ON⊥AC，

∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上

即OD平分∠CDB；

（3）S△AFH﹣S△FEG的值不發(fā)生變化，

理由如下：

如圖2，連接OF，

∵△AOB是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)

∴OF⊥AB，OF＝FB，OF平分∠AOB

∴∠OFB＝∠OFH+∠HFB＝90°

又∵FG⊥FH

∴∠HFG＝∠BFG+∠HFB＝90°

∴∠OFH＝∠BFG

∵∠FOB＝∠AOB＝45°，

∴∠FOH＝∠FOB+∠HOB＝45°+90°＝135°

又∵∠FBG＝180°﹣∠ABO＝180°﹣45°＝135°

∴∠FOH＝∠FBG

在△FOH和△FBG中,

∴△FOH≌△FBG（ASA）

∴S△AOC＝S△BOE

∴S△AFH﹣S△FBG

＝S△AFH﹣S△FOH

＝S△FOA＝××6×6＝9．