Question

5．已知拋物線y=ax²-2ax+m與x軸相交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)C，且S_△ABC=6，則（　�。�

• A． 在y軸右側(cè)該拋物線上不存在點(diǎn)M，使S_△ACM=3
• B． 在y軸右側(cè)該拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)M，使S_△ACM=3
• C． 在y軸右側(cè)該拋物線上存在唯一的點(diǎn)M（2，3），使S_△ACM=3
• D． 在y軸右側(cè)該拋物線上存在唯一的點(diǎn)M（2，-3），使S_△ACM=3

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線具有對稱性，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；再根據(jù)三角形的面積，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式；設(shè)在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)M（m，m²-2m-3），使△ACM的面積為3，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)△AMC的面積求出m的值，從而得解．

解答 解：如圖，
由y=ax²-2ax+m可知，對稱軸x=$-\frac{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，
∵點(diǎn)A（-1，0），
∴根據(jù)拋物線具有對稱性，可得點(diǎn)B（3，0），
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}×4×|y|=6$，解得|y|=3，
∴點(diǎn)C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3，
設(shè)在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)M（m，m²-2m-3），使△ACM的面積為3，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)M的直線AM的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{mk+b={m}^{2}-2m-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m-3}\\{b=m-3}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為：y=（m-3）x+m-3，
∴直線AM與y軸交于點(diǎn)N（0，m-3），
∴${S}_{△ACM}=\frac{1}{2}×（-3-m+3）（m+1）=3$，
解得：m₁=-3，m₂=2，
∴點(diǎn)M（2，-3），
∴在y軸右側(cè)該拋物線上存在唯一的點(diǎn)M（2，-3），使使△ACM的面積為3．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，用含m的式子表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，確定直線解析式，利用分割法求三角形的面積是解決此題的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決此題更簡單．