Question

已知，在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（0，b），a、b滿足

a-b

+|a-3

2

|=0．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求∠OAB的度數；
（2）設AB=6，當點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值；
（3）設AB=6，若∠OPD=45°，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的性質即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此即可求得；
（2）根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得；
（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標．

解答：解：（1）根據題意得：

a=b a-3 2 =0

，
解得：a=b=3

2

，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
（2）PE的值不變．理由如下：
∵△AOB為等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°     
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE     
在△POC和△DPE中，

∠POC=∠DPE      ∠OCP=∠PED   PO=PD

  
∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE  
又OC=

1

2

AB=3
∴PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=

180-∠OPD

2

=

180°-45°

2

=67.5°，
則∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
則在△POB和△DPA中，

∠PDA=∠BPO ∠PAD=∠OBP OA=OB

，
∴△POB≌△DPA．
∴PA=OA=3

2

，
∴DA=PB=6-3

2

，
∴OD=OA-DA=3

2

-（6-3

2

）=6

2

-6
∴D(6

2

-6，0)．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，證明△POB≌△DPA是解題的關鍵．