Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于，與y軸交于C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1,4)，對稱軸為DE.

（1）拋物線的解析式是 ；

（2）如圖（2），點(diǎn)P是AD上的一個動點(diǎn)，是P關(guān)于DE的對稱點(diǎn)，連結(jié)PE，過作F∥PE交x軸于F. 設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；

（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2），當(dāng)x=2時，y的最大值是4；（3）存在滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：（1，4）和（-2，-5）.

【解析】

試題分析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為D(1,4)，∴可設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線與y軸交于C(0，3)，∴，解得.

∴拋物線的解析式為，即.

（2）令PP′交DE于G，由△DPP′∽△DAB列式表示出，從而由求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，化為頂點(diǎn)式即可求得y的最大值.

（3）分∠QCB=90°和∠QBC=90°兩種情況討論即可.

試題解析：【解析】
（1）..

（2）如答圖1，令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′, ∴四邊形FEPP′是平行四邊形.

∴PP′= EF，△DPP′∽△DAB.

∴.

又∵A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x

∴AB=4，DE=4 ，PP′=x, ∴.

∴.

∴.

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.

∵，

∴當(dāng)x=2時，y的最大值是4.

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q（x，y），

如答圖2，過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，

∵Rt△BCQ中BC是直角邊，∴Rt△BCQ的另一直角邊與OH平行.

又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，

∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向下平移3個單位得到.

由已知得直線OH的解析式是y=x,

∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線解析式是：y=x+3或 y=x－3.

由解得或（舍去）；

由解得或（舍去）.

∴存在滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：（1，4）和（-2，-5）.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動點(diǎn)和軸對稱問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.平行四邊形的判定和性質(zhì)；7.相似三角形的判定和性質(zhì)；8.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；9.直角三角形的判定；10.分類思想的應(yīng)用.