Question

18．如圖，線段AB=16，以AB為直徑的半圓上有一點(diǎn)C，連接BC并延長到點(diǎn)D，使DC=2BC，連接OD、AC交于點(diǎn)E，當(dāng)∠B=2∠D時(shí)，線段OE的長為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 連接BE后，由于OC=OB，∠B=2∠D，所以O(shè)C=CD=8，過點(diǎn)O作OF⊥AC于F，由△OFE∽△DCE可知$\frac{EF}{FC}=\frac{1}{5}$，利用垂徑定理和勾股定理即可求出OE的長度．

解答 解：連接BE，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠B=2∠D，
∴∠OCB=2∠D，
∵∠OCB=∠D+∠DOC，
∴∠DOC=∠D，
∴∠DOC=∠D，
∴DC=OC=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴BC=$\frac{1}{2}$DC=4，
由勾股定理可知，
AC=4$\sqrt{15}$，
由垂徑定理可知：OF=$\frac{1}{2}$BC=2，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{15}$，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴OF∥CD，
∴△OFE∽△DCE，
∴$\frac{OF}{DC}$=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{4}$，
∴EF=$\frac{1}{5}$FC=$\frac{2}{5}$$\sqrt{15}$，
由勾股定理可求得：OE=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故答案為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和垂徑定理，綜合程度較高，需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答．