Question

用網(wǎng)格線將平面分成若干個(gè)面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為.

（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表，請寫出S與之間的關(guān)系式.

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和	3	4	5	6	…

答：S=              .
（2）請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn).此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和之間的關(guān)系式是：S=          .
（3）請你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想S與有怎樣的關(guān)系？答：S=                  .

Answer 1

（1）x；（2）x+2；（3）.

試題分析（1）多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)半，即S=x；（2）內(nèi)部有2個(gè)格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)，由此畫圖；并根據(jù)圖找出S與x的關(guān)系；（3）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí)，面積為：．
試題解析：（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即S=x.
（2）根據(jù)圖可知：

正方形的面積是8，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是6，中間格點(diǎn)數(shù)是2，8=6+2；
三角形的面積是5，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是3，中間格點(diǎn)數(shù)是2， 5=3+2；
五邊形的面積是7，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是5，中間格點(diǎn)數(shù)是2， 7=5+2.
那么S=x+2.
（3）通過上題探究可知：最后的1就是內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)而得，所以格點(diǎn)多邊形面積=各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和×+（多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)的2倍-2）；即：.