Question

6．如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AH⊥EF，求證：AH=AB．

Answer 1

分析 延長CD到M，使DM=BE，連接AM，證△ABE≌△ADM，推出∠DAM=∠BAE，AE=AM，求出∠FAM=∠EAF，證△EAF≌△MAF，推出EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答 證明：延長CD到M，使DM=BE，連接AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
在△ABE和△ADM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADM}\\{BE=DM}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADM，
∴∠DAM=∠BAE，AE=AM，
∴∠FAM=∠DAF+∠DAM=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，
∴$\frac{1}{2}$EF×AH=$\frac{1}{2}$MF×AD，
∴AH=AD，
∵AD=AB，
∴AH=AB．

點(diǎn)評 本題考查了對全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明△ABE≌△ADM和△EAF≌△MAF，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．