Question

20．已知二次函數(shù)y=（k²+2k）x²-2（k+1）x+1，其中k為給定的正整數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)y的圖象與x軸相交于A、B兩點，且線段AB的長為$\frac{1}{12}$，求k的值；
（Ⅱ）若k依次取1，2，…，2015時，函數(shù)y的圖象與y軸相交于點C，與x軸相交所截得的2015條線段分別是A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₅B₂₀₁₅，記△A₁B₁C，△A₂B₂C，…，△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C的面積分別為S₁，S₂，…，S₂₀₁₅，求證：S₁+S₂+…+S₂₀₁₅＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令y=0，用k表示出x的值，根據(jù)線段AB的長為$\frac{1}{12}$，即可得到k的方程，求出k的值即可；
（Ⅱ）首先用k表示出A_KB_K，進而求出S_k=S_△AkBkC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$），最后求出S₁+S₂+…+S₂₀₁₅的和．

解答 解：（Ⅰ）令y=0，解得x₁=$\frac{1}{k}$，x₂=$\frac{1}{k+2}$，x₁＞x₂，
AB=|x₁-x₂|=x₁-x₂=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$=$\frac{1}{12}$，
解得k=4；
（Ⅱ）點C坐標為（0，1），A_KB_K=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$，
S_k=S_△AkBkC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$），
S₁+S₂+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
＜$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點以及三角形三邊關(guān)系的知識，解題的關(guān)鍵是用k表示出A_kB_k，此題有一定的難度．