Question

8．如圖所示，正方形ABCD中，連接對角線AC，將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△A′CD′，連接AA′，連接DD′并延長交AA′于點(diǎn)E，若A′E=$\frac{1}{2}$AC=2，則ED′=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，延長A′D′到A″使得D′A″=D′A′，交AD于G，連接AA″，DA″，CG，CE，A′B，AD′，作A′M⊥DE于M．首先證明△A′CB≌△ACD′≌△A″CD，推出CG⊥DE，AA″⊥DE，推出DE∥AA″，推出A′E=AE，根據(jù)A′E=$\frac{1}{2}$AC，推出△A′CA是等邊三角形，再利用A′、E、D′、C四點(diǎn)共圓即可解決問題．

解答 解：如圖，延長A′D′到A″使得D′A″=D′A′，交AD于G，連接AA″，DA″，CG，CE，A′B，AD′，作A′M⊥DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∴CD′=A′D′=D′A″，
∴∠A′CA″=90°，CA′=CA″，
∵∠A′CA″=∠BCD，
∴∠A′CB=∠A″CD，
在△A′CB和△A″CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{A′C=CA″}\\{∠A′CB=∠A″CD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△A′CB≌△A″CD，同理可證△A′CB≌△ACD，
∴CA=CA′=CA″，∠ACD′=∠A″CD，
在Rt△CGD′和Rt△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD′=CD}\end{array}\right.$，
∴△CGD′≌△CGD，
∴∠CGD′=∠CDG，∠GCD′=∠GCD，
∴CG⊥DD′，
∴∠ACG=∠A″CG，
∴CG⊥AA″，
∴DE∥AA″，
∵A′D′=D′A″，
∴A′E=EA，
∵A′E=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AC=CA′=A′A=4，CE⊥AA′，
∴△ACA′是等邊三角形，
∴∠A′CE=$\frac{1}{2}$∠ACA′=30°，
∵∠A′EC=∠A′D′C=90°，
∴A′、E、D′、C四點(diǎn)共圓，
∴∠A′EM=∠A′CD′=45°，∠A′D′M=30°，
∴A$′M=ME=\sqrt{2}$，
D′M=$\sqrt{3}$A′M=$\sqrt{6}$，
∴D′E=D′M-EM=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，發(fā)現(xiàn)△A′CA是等邊三角形是解題的突破點(diǎn)，題目比較難，屬于競賽類題目．