【題目】已知拋物線l:y=(x﹣h)2﹣4(h為常數(shù))

(1)如圖1,當拋物線l恰好經(jīng)過點P(1,﹣4)時,lx軸從左到右的交點為A、B,與y軸交于點C.

①求l的解析式,并寫出l的對稱軸及頂點坐標.

②在l上是否存在點D,使SABD=SABC , 若存在,請求出D點坐標,若不存在,請說明理由.

③點Ml上任意一點,過點MME垂直y軸于點E,交直線BC于點D,過點Dx軸的垂線,垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點M的坐標.

(2)設(shè)l與雙曲線y=有個交點橫坐標為x0,且滿足3≤x0≤5,通過l位置隨h變化的過程,直接寫出h的取值范圍.

【答案】(1)①拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣4,拋物線的對稱軸為x=1,頂點坐標為(1,﹣4);②(1+,3)或(1﹣,3);③(﹣+1,﹣)或(+1,﹣);(2)2≤h≤5﹣4≤h≤5+.

【解析】(1)①將P(1,-4)代入得到關(guān)于h的方程,從而可求得h的值,可得到拋物線的解析式,然后依據(jù)拋物線的解析式可直接得到拋物線的對稱軸和頂點坐標;

②先求得OC的長,然后由三角形的面積公式可得到點D的縱坐標為3-3,最后將y的值代入求得對應(yīng)的x的值即可;

③先證明四邊形OEDF為矩形,則DO=EF,由垂線的性質(zhì)可知當ODBC時,OD有最小值,即EF有最小值,然后由中點坐標公式可求得點D的坐標,然后可的點M的縱坐標,由函數(shù)的關(guān)系式可求得點M的橫坐標;

(2)拋物線y=(x-h)2-4的頂點在直線y=-4上,然后求得當x=3x=5時,雙曲線對應(yīng)的函數(shù)值,得到點A和點B的坐標,然后分別求得當拋物線經(jīng)過點A和點B時對應(yīng)的h的值,然后畫出平移后的圖象,最后依據(jù)圖象可得到答案.

(1)①將P(1,﹣4)代入得:(1﹣h)2﹣4=﹣4,解得h=1,

∴拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣4,

∴拋物線的對稱軸為x=1,頂點坐標為(1,﹣4);

②將x=0代入得:y=﹣3,

∴點C的坐標為(0,﹣3),

OC=3,

SABD=SABC,

∴點D的縱坐標為3或﹣3,

y=﹣3時,(x﹣1)2﹣4=﹣3,解得x=2x=0,

∴點D的坐標為(0,﹣3)或(2,﹣3),

y=3時,(x﹣1)2﹣4=3,解得:x=1+x=1﹣,

∴點D的坐標為(1+ ,3)或(1﹣ ,3),

綜上所述,點D的坐標為(0,﹣3)或(2,﹣3)或(1+ ,3)或(1﹣ ,3)時,SABD=SABC ;

③如圖1所示:

∵∠EOF=OED=OFD=90°,

∴四邊形OEDF為矩形,

DO=EF,

依據(jù)垂線段的性質(zhì)可知:當ODBC時,OD有最小值,即EF有最小值,

y=0代入拋物線的解析式得:(x﹣1)2﹣4=0,解得x=﹣1x=3,

B(3,0),

OB=OC,

又∵ODBC,

CD=BD,

∴點D的坐標(,﹣),

y=﹣代入得:(x﹣1)2﹣4=﹣,解得x=﹣+1x= +1.

∴點M的坐標為(﹣+1,﹣)或( +1,﹣

(2)y=(x﹣h)2﹣4,

∴拋物線的頂點在直線y=﹣4,

理由:對雙曲線,當3≤x0≤5時,﹣3≤y0≤﹣,

L與雙曲線在A(3,﹣3),B(5,﹣)之間的一段有個交點,

當拋物線經(jīng)過點A時,(3﹣h)2﹣4=﹣3,解得h=2h=4,

當拋物線經(jīng)過點B時,(5﹣h)2﹣4=﹣,解得:h=5+h=5﹣ ,

h的逐漸增加,l的位置隨向右平移,如圖所示,

由函數(shù)圖象可知:當2≤h≤5﹣4≤h≤5+時,拋物線與雙曲線在3≤x0≤5段有個交點.

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