Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax-b與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，且A（-4，0），OC=2OB．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）如圖①，作矩形ABDE，使DE過點(diǎn)C，點(diǎn)P是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作PF⊥PE交BD于點(diǎn)F．設(shè)線段PB的長(zhǎng)為x，線段BF的長(zhǎng)為

1

2

y．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍，在同一直角坐標(biāo)系中，該函數(shù)的圖象與圖①的拋物線中y≥0的部分有何關(guān)系？
（3）如圖②，在圖①的拋物線中，點(diǎn)H為其頂點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與H重合），取點(diǎn)N（-1，0），作MN⊥GN且MN=

2

3

GN（點(diǎn)M、N、G按逆時(shí)針順序），當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AM、GH是否存在某種位置關(guān)系？若存在，寫出并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可確定其對(duì)稱軸方程，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)；已知了OB、OC的數(shù)量關(guān)系，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（2）由于PE⊥PF，可證得Rt△AEP∽R(shí)t△BPF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，再和拋物線的圖象比較得出二者的關(guān)系；
（3）連接HN，由（1）的拋物線知：N點(diǎn)位于拋物線的對(duì)稱軸上，即HN⊥x軸，根據(jù)H點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得HN=

9

2

，根據(jù)A、N的坐標(biāo)可知AN=3，由此可得到AN：NH=MN：NG=2：3，而∠ANM和∠HNG是同角的余角，由此可證得△HNG∽△ANM，則∠AMN=∠HGN；若延長(zhǎng)HG、MA，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為S；由于∠HGN和∠SGN互補(bǔ)，則∠AMN和∠SGN互補(bǔ)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可證得∠S和∠GNM互補(bǔ)，而∠GNM是直角，所以∠S也應(yīng)是直角，由此可證得AM、GH的位置關(guān)系是互相垂直．

解答：解：（1）∵y=ax²+2ax-b，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∵A（-4，0），
∴B（2，0），
∵OC=2OB=4，
∴C（0，4）
∴

a×22+2a×2-b=0 -b=4

，
∴

a=- 1 2 b=-4

則y=-

1

2

x²-x+4．

（2）∵四邊形ABDE為矩形，PF⊥PE，
∴Rt△AEP∽R(shí)t△BPF；
∴

AE

BP

=

AP

BF

，
即

4

x

=

6-x

1 2 y

，
∴y=-

1

2

x²+3x，（0≤x≤6）．
又∵y=-

1

2

x²+3x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，y=-

1

2

x²-x+4=-

1

2

（x+1）²+

9

2

，
∴圖①的拋物線中，y≥0時(shí)，-4≤x≤2，
將拋物線y=-

1

2

x²-x+4中y≥0的部分向右平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=-

1

2

x²+3x，（0≤x≤6）；

（3）AM⊥GH，理由如下：
連接HN并延長(zhǎng)交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，設(shè)直線AM、GH交于點(diǎn)S；
∵點(diǎn)H為拋物線y=-

1

2

x²-x+4的頂點(diǎn)，
∴H（-1，

9

2

），且A（-4，0），N（-1，0）
∴AN=3，HN=

9

2

，且MN=

2

3

GN；
∴MN：NG=AN：HN=2：3；
又∵∠ANM=∠GMH=90°-∠GNA，
∴△AMN∽△HGN，得∠HGN=∠AMN；
∵∠SGN+∠HGN=180°，
∴∠SGN+∠AMN=180°；
∴∠S+∠GNM=180°，即∠S=90°；
∴AM⊥GH．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建出相似三角形是解答（3）題的關(guān)鍵．