已知:如圖①,在Rt△ACB中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<4),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?
(2)如圖②,連接CQ.設(shè)△PQC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖②,是否存在某一時(shí)刻t,使線(xiàn)段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1:2的兩部分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(1)當(dāng)t=時(shí),PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B;
(2);
(3)存在,當(dāng)時(shí),線(xiàn)段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1:2的兩部分.
【解析】
試題分析:(1)用含有t的代數(shù)式表示PB和BQ,再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩段點(diǎn)的距離相等即可;
(2)先證△BQH∽△BAC,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可;
(3)分兩種情況討論:當(dāng)S△AQC=2S△PQC時(shí)和當(dāng)2S△AQC =S△PQC時(shí),分別求出t的值.
試題解析:(1)在Rt△ABC中,AB=.
∵PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B
∴PB=BQ
∵PB=2t,PQ=10-t,
∴2t=10-t
解得:t=
即:當(dāng)t=時(shí),PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B;
(2) 如圖①過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H.
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴QH∥AC,
∴△BQH∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)存在
如圖②過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,
∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,
∴QM∥AC,
∴△BQM∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,
∴QN∥BC,
∴△AQN∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∵線(xiàn)段CQ恰好把四邊形ACPQ的面積分成1:2的兩部分,
∴S△AQC=2S△PQC或2S△AQC =S△PQC
當(dāng)S△AQC=2S△PQC時(shí),
∴
當(dāng)2S△AQC =S△PQC時(shí),
∴
綜上可知:當(dāng)時(shí),線(xiàn)段C Q恰好把四邊形ACPQ的面積分成1:2的兩部分.
考點(diǎn):三角形綜合.
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