【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接三角形ABC中,,,過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D,垂足為E.設(shè)P是上異于A,C的一個動點,射線AP交l于點F,連接PC與PD,PD交AB于點G.
(1)求證:;
(2)若, ,求PD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)證明相似,思路很常規(guī),就是兩個角相等或邊長成比例.因為題中由圓周角易知一對相等的角,那么另一對角相等就是我們需要努力的方向,因為涉及圓,傾向于找接近圓的角∠DPF,利用補角在圓內(nèi)作等量代換,等弧對等角等知識易得∠DPF=∠APC,則結(jié)論易證.
(2)求PD的長,且此線段在上問已證相似的△PDF中,很明顯用相似得成比例,再將其他邊代入是應(yīng)有的思路.利用已知條件易得其他邊長,則PD可求.
解:(1)∵四邊形APCB內(nèi)接于圓O,
∴∠FPC=∠B.
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,
∴∠APD=∠FPC,∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD,
又∵∠PAC=∠PDC,
∴△PAC∽△PDF;
(2)如圖1,連接PO,
則由 ,,有PO⊥AB,且∠PAB=45°,△APO、△AEF都為等腰直角三角形.在Rt△ABC中,
∵AC=2BC,
∴AB2=BC2+AC2=5BC2,
∵AB=5,
∴BC= ,
∴AC=2,
∴CE=ACsin∠BAC=AC=2=2,
AE=ACcos∠BAC=AC=2=4,
∵△AEF為等腰直角三角形,
∴EF=AE=4,
∴FD=FC+CD=(EF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.
∵△APO為等腰直角三角形,AO=AB=,
∴AP=.
∵△PDF∽△PAC,
∴=,
∴=,
∴P=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與相切于點T,直線與相交于兩點,連接.
(1)求證:;
(2)若,請直接寫出圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留無理數(shù))
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點O,并分別與邊CD,BC交于點F,E,連接AE,下列結(jié)論:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四邊形OECF;④當(dāng)BP=1時,tan∠OAE=,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的港珠澳大橋是目前橋梁設(shè)計中廣泛采用的斜拉橋,它用粗大的鋼索將橋面拉住,為檢測鋼索的抗拉強度,橋梁建設(shè)方從甲、乙兩家生產(chǎn)鋼索的廠方各隨機選取5根鋼索進行抗拉強度的檢測,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:百噸)
甲、乙兩廠鋼索抗拉強度檢測統(tǒng)計表
鋼索 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 |
甲廠 | 10 | 11 | 9 | 10 | 12 | 10.4 | 10 | 1.04 |
乙廠 | 10 | 8 | 12 | 7 | 13 | a | b | c |
(1)求乙廠5根鋼索抗拉強度的平均數(shù)a(百噸)、中位數(shù)b(百噸)和方差c(平方百噸).
(2)橋梁建設(shè)方?jīng)Q定從抗拉強度的總體水平和穩(wěn)定性來決定鋼索的質(zhì)量,問哪一家的鋼索質(zhì)量更優(yōu)?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,與的平分線相交于點P,,PB與CE交于點H,交BC于F,交AB于G,下列結(jié)論:①;②;③ BP垂直平分CE;④,其中正確的判斷有( )
A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①②③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1,且過點(3,0),下列結(jié)論:①abc>0;②a﹣b+c<0;③2a+b>0;④b2﹣4ac>0;正確的有( 。﹤.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子廠商設(shè)計了一款制造成本為18元新型電子廠品,投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查,得到每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的部分數(shù)據(jù)如下:
銷售單價x(元/件) | … | 20 | 25 | 30 | 35 | … |
每月銷售量y(萬件) | … | 60 | 50 | 40 | 30 | … |
(1)求出每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求出每月的利潤z(萬元)與銷售單x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定,這種電子產(chǎn)品的銷售利潤率不能高于50%,而且該電子廠制造出這種產(chǎn)品每月的制造成本不能超過900萬元.那么并求出當(dāng)銷售單價定為多少元時,廠商每月能獲得最大利潤?最大利潤是多少?(利潤=售價﹣制造成本)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,矩形的一條邊長為x,周長的一半為y,定義(x,y)為這個矩形的坐標。如圖2,在平面直角坐標系中,直線x=1,y=3將第一象限劃分成4個區(qū)域,已知矩形1的坐標的對應(yīng)點A落在如圖所示的雙曲線上,矩形2的坐標的對應(yīng)點落在區(qū)域④中,則下面敘述中正確的是( )
A. 點A的橫坐標有可能大于3
B. 矩形1是正方形時,點A位于區(qū)域②
C. 當(dāng)點A沿雙曲線向上移動時,矩形1的面積減小
D. 當(dāng)點A位于區(qū)域①時,矩形1可能和矩形2全等
查看答案和解析>>