Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個交點為B（-1，0），與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；
（2）用只含a的代數(shù)式表示點C和點D的坐標；
（3）連結(jié)AC與CD，當AC⊥CD時．
①求拋物線的解析式；
②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線解析式和點B的坐標求出a值，利用對稱軸x=-

b

2a

求出對稱軸以及點A的坐標；
（2）設x=0，求出y的值，即點C的縱坐標，把拋物線的解析式配方即可得到頂點的坐標即點D的坐標，問題得解；
（3）①本題要靠輔助線的幫助．連接AC，AD，過DM⊥y軸于點M．證明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
②證明四邊形BAFE為平行四邊形，求出BA，EF得出點F的坐標．

解答：解：（1）對稱軸是直線：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，
∵拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個交點為B（-1，0），對稱軸是直線x=1，
∴點A的坐標是（3，0）；
（2）設x=0，則y=-b，
∴點C的坐標為（0，-b），
∵y=ax²-2ax-b=a（x²-2x）-b，
=a（x-1）²-a-b，
∴點D的坐標為（1，-a-b）；
（3）①如圖1，連接AC、AD，過D作DM⊥y軸于點M，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠MCD=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠CDM+∠MCD=90°，
∴∠OCA=∠CDM，∠OAC=∠MCD，
∴△AOC∽△CMD，
∵點A、D、C的坐標分別是A（3，0），D（1，-a-b），C（0，-b），
∴AO=3，MD=1，
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0，
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3；
②如圖2所示，當BAFE為平行四邊形時，
則BA∥EF，并且BA=EF，
∵BA=4，
∴EF=4，
由于對稱為x=1，
∴點F的橫坐標為5，
將x=5代入y=x²-2x-3得y=12，
∴F（5，12），
根據(jù)拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側(cè)拋物線上也存在點F，
使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時點F坐標為（-3，12），
當四邊形BEAF是平行四邊形時，點F即為點D，
此時點F的坐標為（1，-4），
綜上所述，點F的坐標為（5，12），（-3，12）或（1，-4）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用以及平行四邊形的判定定理，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出F點的坐標是解題關(guān)鍵，題目的綜合性較強，對學生的解題能力要求較高，是一道不錯的中考題目．