如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC，BC，過A，B，C三點(diǎn)作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
第三問改成，在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，（1分）
∴
OA
OC
=
OC
OB
．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴
1
OC
=
OC
9
，
解得OC=3（負(fù)值舍去）．
∴C（0，-3），
故設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=
1
3
，
∴二次函數(shù)的解析式為y=
1
3
（x+1）（x-9），
即y=
1
3
x2-
8
3
x-3．（4分）

（2）∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），（5分）
∵點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，
∴∠BCD=
1
2
∠BCE=
1
2
×90°=45°，
連接O′D交BC于點(diǎn)M，
則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=
1
2
AB=5．
∴O′D⊥x軸
∴D（4，-5）．（6分）
∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴
9k+b=0
4k+b=-5
（7分）
解得
k=1
b=-9

∴直線BD的解析式為y=x-9．（8分）

（3）假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：設(shè)射線DP交⊙O′于點(diǎn)Q，則
BQ
=
CD
．
分兩種情況（如圖所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，
因此，點(diǎn)Q1（7，-4）符合
BQ
=
CD
，
∵D（4，-5），Q1（7，-4），
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=
1
3
x-
19
3
．（9分）
解方程組
y=
1
3
x-
19
3
y=
1
3
x2-
8
3
x-3

得
x1=
9-
41
2
y1=
-29-
41
6
或
x2=
9+
41
2
y2=
-29+
41
6

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為（
9+
41
2
，
-29+
41
6
），坐標(biāo)為（
9-
41
2
，
-29-
41
6
）不符合題意，舍去．（10分）
②∵Q1（7，-4），
∴點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2（7，4）也符合
BQ
=
CD
．
∵D（4，-5），Q2（7，4）．
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x-17．（11分）
解方程組
y=3x-17
y=
1
3
x2-
8
3
x-3

得
x1=3
y1=-8
，
即
x2=14
y2=25

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，-8）不符合題意，舍去．（12分）
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（
9+
41
2
，
-29+
41
6
），P2（14，25）．

解法二：分兩種情況（如圖所示）：
①當(dāng)DP1∥CB時(shí)，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=
1
3
x-3．
又∵DP1∥CB，
∴設(shè)直線DP1的解析式為y=
1
3
x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-
19
3
，
∴直線DP1解析式為y=
1
3
x-
19
3
．（9分）
解方程組
y=
1
3
x-
19
3
y=
1
3
x2-
8
3
x-3

得
x1=
9-
41
2
y1=
-29-
41
6
或
x2=
9+
41
2
y2=
-29+
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    相關(guān)習(xí)題

    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（x1，0）、B（-1，0）且x1＞0，AO2+BO2=10，拋物線交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
    （1）求拋物線的解析式；
    （2）證明△ADC是直角三角形；
    （3）第一象限內(nèi)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    如圖，對(duì)稱軸為直線x=
    7
    2
    的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．
    （1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
    （2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
    ①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
    ②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），
    C（2，0）三點(diǎn)．
    （1）求拋物線的解析式；
    （2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．
    求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
    （3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1；
    （1）求a的值；
    （2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3的解析式．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    某企業(yè)為了增收節(jié)支，設(shè)計(jì)了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
    銷售單價(jià)x（元∕件）…30405060…
    每天銷售量y（件）…500400300200…
    （1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，根據(jù)所描出的點(diǎn)猜想y是x的什么函數(shù)，并求出函數(shù)關(guān)系式；
    （2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
    （3）當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）．點(diǎn)M、N在x軸上，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
    （1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
    （2）求點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)m的值．
    （3）將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN．
    ①當(dāng)點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
    ②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點(diǎn)E在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出所有符合條件的m值．
    （參考公式：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ））

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    善于不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法的小迪發(fā)現(xiàn)，對(duì)解題進(jìn)行回顧反思，學(xué)習(xí)效果更好．某一天小迪有20分鐘時(shí)間可用于學(xué)習(xí)．假設(shè)小迪用于解題的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益y的關(guān)系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間．
    （1）求小迪解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；
    （2）求小迪回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；
    （3）問小迪如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這20分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最
    大？

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

    已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，他們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度都是1厘米/秒，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）
    （1）試用t的代數(shù)式表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
    （2）求△OPQ的面積S（cm2）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值；
    （3）試問是否存在這樣的時(shí)刻t，使△OPQ為直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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