Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，CE，解答下列問(wèn)題：
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）記AB=a，BF=b，若a，b是方程x2﹣2（m+1）x+m2+1=0的兩根，問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，菱形AECF的周長(zhǎng)為8 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，

在△AOE和△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四邊形AECF為菱形

（2）解：在△ABF中，∵∠ABF=90°，

∴AB2+BF2=AF2，

∴AF2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=2（m+1），ab=m2+1，

∴AF2=[2（m+1）]2﹣2（m2+1）=2m2+8m+2，

∵菱形AECF的周長(zhǎng)為8 ，

∴AF=2 ，

∴2m2+8m+2=（2 ）2，

解得：m=1或m=﹣5，

∵原方程有實(shí)數(shù)根，則△≥0，

∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+1）≥0，

∴m=﹣5不合題意，舍去，

∴m=1，

即當(dāng)m=1時(shí)，菱形AECF的周長(zhǎng)為8

【解析】（1）由ASA證明△AOE≌△COF，得出對(duì)應(yīng)邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由FE⊥AC，即可得出結(jié)論．（2）由勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系得出方程，解方程求出m=1或m=﹣5，再由根的判別式即可得出m的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可以解答此題．