Question

4．如果記f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，且f（1）=$\frac{1^2}{1^2+1}$=$\frac{1}{2}$； f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$；那么f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-1}{2}$．（結(jié)果用含有n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 根據(jù)給定的f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$的定義式，可找出部分f（n）與f（$\frac{1}{n}$）的值，根據(jù)數(shù)值的變化可找出變化規(guī)律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f（2）=$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，f（3）=$\frac{{3}^{2}}{{3}^{2}+1}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{（\frac{1}{3}）^{2}+1}$=$\frac{1}{10}$，…，
∴f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n為正整數(shù)）．
∴f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$+1+1+…+1=$\frac{2n-1}{2}$．
故答案為：$\frac{2n-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n為正整數(shù)）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定的定義式找出部分f（n）與f（$\frac{1}{n}$）的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．