Question

14．正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE平分∠ADO交AC于點E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，點F是DE的中點，連接AF，BF，E′F．若AE=$\sqrt{2}$．則四邊形ABFE′的面積是$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，連接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的邊長，再求出AB，根據(jù)S_{四邊形ABFE′}=S_{四邊形AEFE′}+S_△AEB+S_△EFB即可解決問題．

解答 解：如圖，連接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根據(jù)對稱性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，
∴DE=DE′，AE=AE′，
∴AD垂直平分EE′，
∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO=$\sqrt{2}$+1，
∴AB=$\sqrt{2}$AO=2+$\sqrt{2}$，
∴S_△AEB=S_△AED=S_△ADE′=$\frac{1}{2}$×1×（2+$\sqrt{2}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△BDE=S_△ADB-2S_△AEB=1+$\sqrt{2}$，
∵DF=EF，
∴S_△EFB=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△DEE′=2S_△ADE-S_△AEE′=$\sqrt{2}$+1，S_△DFE′=$\frac{1}{2}$S_△DEE′=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴S_{四邊形AEFE′}=2S_△ADE-S_△DFE′=$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{四邊形ABFE′}=S_{四邊形AEFE′}+S_△AEB+S_△EFB=$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，學會利用分割法求四邊形面積，屬于中考填空題中的壓軸題．