Question

如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則cosα的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,正方形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：過點(diǎn)D作DE⊥l₁于點(diǎn)E并反向延長交l₄于點(diǎn)F，根據(jù)同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根據(jù)正方形的每條邊都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”證明△ADE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的長度，然后根據(jù)銳角的余弦值等于鄰邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥l₁于點(diǎn)E并反向延長交l₄于點(diǎn)F，
在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，
∴∠α=∠CDF，
在△ADE和△DCF中，

∠α=∠CDF ∠AED=∠DFC AD=DC

，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE，
∵相鄰兩條平行直線間的距離都是2，
∴DE=2，AE=4，
根據(jù)勾股定理得，AD=

AE2+DE2

=

16+4

=2

5

，
所以，cosα=

AE

AD

=

4

2 5

=

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．