Question

下列命題：（一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)））
①若a+b+c=0，則b²-4ac≥0；②若b＞a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；③若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；其中不正確的有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．0個

Answer 1

【答案】分析：（1）由a+b+c=0，得b=-（a+c），所以b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，則①對；
（2）若a=-1，b=2，c=-3，則有b＞a+c，但是△=b²-4ac=2²-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax²+bx+c=0沒有實數(shù)根，則②錯；
（3）由b=2a+3c，△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，通過分析a，c的值可得△＞0，即一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，則③對．
解答：解：（1）∵a+b+c=0，得b=-（a+c），
∴b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以①對；
（2）若取a=-1，b=2，c=-3，滿足b＞a+c，但是△=b²-4ac=2²-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax²+bx+c=0沒有實數(shù)根，
所以②錯；
（3）∵b=2a+3c，
∴△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，
因為a≠0，所以當c=0，△=4（a+c）²+5c²＞0；
當c≠0，△=4（a+c）²+5c²＞0，即一元二次方程ax²+bx+c=0總有兩個不相等的實數(shù)根，所以③對．
故選A．
點評：題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．