Question

已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為28，過(guò)頂點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F，若AE=3，AF=4，求CE-CF的值．

Answer 1

解：如圖1：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∵∠AED=∠AFB=90°，
∴△ADE∽△ABF，
∴==，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=BC=6，AB=DC=8，
∴由勾股定理得：DE==3，BF==4＞6，
即F在BC的延長(zhǎng)線上，
∴EC=DC-DE=8-3，CF=BF-BC=4-6，
∴CE-CF=（8-3）-（4-6）=14-7；
如圖2：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠ABF，
∴△ADE∽△ABF，
∴==，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
由勾股定理得：DE=3，BF=4，
∴EC=CD+DE=8+3，CF=BC+BF=6+4，
∴CE-CF=（8+3）-（6+4）=2-，
綜合上述CE-CF=14-7或2-．
分析：先畫(huà)出符合條件的兩種情況的圖形，可證得△ADE∽△ABF，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可求得AB與AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求得DE與BF的長(zhǎng)，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，題目比較好，但是有一定的難度．