Question

9．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線l上，AB與AG在同一直線上．
（1）圖1中，小明發(fā)現(xiàn)DG=BE，請你幫他說明理由．
（2）小明將正方形ABCD按如圖2那樣繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)到當(dāng)點(diǎn)C恰好落在直線l上時(shí)，請你直接寫出此時(shí)BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°，再利用SAS證明△DAG≌△BAE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出DG=BE；
（2）分兩種情況：①C在EA的延長線上，連結(jié)BD交AC于O，求出OB、OE，然后在Rt△BOE中利用勾股定理可求出BE的長；②C在AE上，證明C與E重合，那么BE=BC=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°．
在△DAG與△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE；

（2）將正方形ABCD按如圖2那樣繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)到當(dāng)點(diǎn)C恰好落在直線l上時(shí)，分兩種情況：
①如果C在EA的延長線上時(shí)，
如備用圖1，連結(jié)BD交AC于O，
∵正方形ABCD邊長為$\sqrt{2}$，
∴BD=AC=$\sqrt{2}$AB=2，AC⊥BD，
∴OB=OA=$\frac{1}{2}$BD=1．
∵正方形AEFG邊長為2，
∴OE=OA+AE=1+2=3．
在Rt△BOE中，∵∠BOE=90°，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
②如果C在AE上時(shí)，
如備用圖2，連結(jié)BD交AC于O，
∵正方形ABCD邊長為$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=$\sqrt{2}$AB=2，
∵正方形AEFG邊長為2，
∴AE=2，
∴C與E重合，
∴BE=BC=$\sqrt{2}$．
故所求BE的長為$\sqrt{10}$或$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，難度適中．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．