Question

4．如圖，二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D是拋物線在第一象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，
①當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②若E為BC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交線段AB于點(diǎn)F，當(dāng)△BEF為鈍角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c得到a、c的方程組，然后解方程組求出a、c即可得到拋物線的解析式，然后把一般式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①先解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0得B（4，0），設(shè)D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），根據(jù)三角形面積公式，利用S_{四邊形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB得到四邊形OCDB的面積=-t²+4t+4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
②先利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到E（2，1），然后分類：分別求出∠EFB=90°和∠BEF=90°時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線AE與拋物線的交點(diǎn)，則可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{3}{2}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
因?yàn)閥=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
（2）①當(dāng)x=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，則B（4，0），
設(shè)D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
S_{四邊形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB=$\frac{1}{2}$•2•t+$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=-t²+4t+4=-（t-2）²+8，
所以當(dāng)t=2時(shí)，四邊形OCDB的面積最大，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；
②∵E為BC的中點(diǎn)，
∴E（2，1），
若DF⊥AB時(shí)，∠EFB=90°，此時(shí)D（2，3），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，∠EFB為鈍角，此時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍為2＜y≤$\frac{25}{8}$，
若FD⊥BC，∠BEF=90°，BE=$\sqrt{（4-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBF=∠OBC，
∴Rt△BEF∽R(shí)t△BOC，
∴BF：BC=BE：BO，即BF：2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$：4，解得BF=$\frac{5}{2}$，
∴OF=OB-BF=$\frac{3}{2}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，0），
易得直線此時(shí)EF的解析式為y=2x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=-\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$，則D（$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-4），
設(shè)直線AE的解析式為uy=kx+b，
把A（-1，0），E（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$＜x≤$\frac{10}{3}$時(shí)，∠BEF為鈍角，此時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍為$\frac{13}{9}$≤y＜$\sqrt{41}$-4，
綜上所述，點(diǎn)D縱坐標(biāo)y的取值范圍為$\frac{13}{9}≤y≤\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)利用相似三角形的知識(shí)求線段的長(zhǎng)；能運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．