Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：圓周角定理,三角形的面積,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OB、OC，如圖，證明△OBC為等邊三角形得到∠BOC=60°，然后根據(jù)圓周角定理求解；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，連結(jié)DB、DC，則點D為優(yōu)弧BC的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OH=

3

2

BC=

3

，則可計算出S_△BDC=2+

3

，由于點A為弦BC所對優(yōu)弧的中點時，點A到BC的距離最大，此時△ABC面積的最大，所以△ABC面積的最大值為2+

3

．

解答：解：（1）連結(jié)OB、OC，如圖，
∵OB=OC=2，BC=2，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=30°；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，連結(jié)DB、DC，則點D為優(yōu)弧BC的中點，
∵△OBC為等邊三角形，
∴OH=

3

2

BC=

3

，
∴S_△BDC=

1

2

×2×（2+

3

）=2+

3

，
∵點A為弦BC所對優(yōu)弧的中點時，點A到BC的距離最大，此時△ABC面積的最大，
∴△ABC面積的最大值為2+

3

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．