Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D（2，0）、B（8，0）．直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中，AC∥OB，點(diǎn)C在拋物線對(duì)稱軸上，連接CD．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度，沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥AC交CD于點(diǎn)E．設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）求CD的長，并用含有t的代數(shù)式表示DE的長．
（3）若點(diǎn)N在x軸下方的拋物線上，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APNQ為平行四邊形．
（4）當(dāng)△EDQ為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）作CM⊥DB于點(diǎn)M，在直角△CND中，利用勾股定理即可求得CD的長；作EF⊥DB于點(diǎn)F，則△CMD∽△EFD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得DE的長；
（3）若四邊形APNQ為平行四邊形，則AP=QN，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程求得t的值；
（4）△EDQ為直角三角形應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠EQD時(shí)直角，和∠DEQ是直角兩種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理即可得到關(guān)于t的方程，解得t的值．
解答：解：（1）∵點(diǎn)D（2，0）和B（8，0）在拋物線上，
∴
解得
∴這條拋物線的解析式為．（2分）
（2）作CM⊥DB于點(diǎn)M．由題意得，CM=OA=4，DM=5-2=3．
∴在Rt△CMD中，．（3分）
作EF⊥DB于點(diǎn)F，則△CMD∽△EFD．，
∴．（5分）
（3）若四邊形APNQ為平行四邊形，則AP=QN．
∴，
解得t₁=t₂=2．
∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形APNQ為平行四邊形．（8分）
（4）當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，Q與F點(diǎn)重合，
∵△CDM∽△EDF，則=，即=，則EF=4-t，
根據(jù)勾股定理得：（5-t）²=（4-t）²+（2t-2）²，解得：t=；
當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，△DEQ∽△DMC，則=，則=，
解得：EQ=，
在直角△EQD中，利用勾股定理可得：（5-t）²+（）²=（2t-2）²，解得：t=．
故t=或t=．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及相似三角新的判定與性質(zhì)，勾股定理，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．