Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求拋物線的關(guān)系式和tan∠BAC的值；

（2）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥OA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在AB上找一點(diǎn)M，使得OM+DM的值最小，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式：y=x2﹣x+3；tan∠BAC=；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）；（3）M點(diǎn)坐標(biāo)（，）.

【解析】

（1）C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，解方程組求出m、n的值即可得拋物線的解析式，利用解析式可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線交于A、B兩點(diǎn)，解方程組可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知△ABC是直角三角形，進(jìn)而可求得tanBAC 的值.（2）設(shè)P（a，a2﹣a+3），根據(jù)QA=∠ACB=90°可知相似比為3或，分別討論點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方和下方兩種情況，根據(jù)相似比求出a的值即可的P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的解析式，作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)O'，可求出O′的坐標(biāo)當(dāng)O'，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，OM+DM值最小，連接O'D交AB于M，根據(jù)D、O′坐標(biāo)可求出O'D的析式，結(jié)合AB的解析式求出M的坐標(biāo)即可.

（1）∵拋物線y=x2+mx+n過點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（3，0）．

∴ ，

解得：n=3，m=﹣，

∴拋物線解析式：y=x2﹣x+3

當(dāng)y=0時(shí)，0=x2﹣x+3

∴x1=3，x2=2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）

∵拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)

∴，

解得： ， ；

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（4，1）

∵A（0，3），C（3，0），B（4，1）

∴AB=2，BC=，AC=3，

∵AB2=20，BC2=2，AC2=18

∴AB2=BC2+AC2．

∴∠ACB=90°

∴tan∠BAC==，

（2）設(shè)P（a，a2﹣a+3），

若點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方，則PQ=a＞0

∵以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或，

若，則3AQ=PQ 即3[3﹣（a2﹣a+3）]=a

解得a=，a=0（不合題意舍去）

∴點(diǎn)P（，）

若，則AQ=3PQ 即[3﹣（a2﹣a+3）]=3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=﹣1（不合題意舍去）

若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且在y軸左側(cè)，則PQ=﹣a＞0

∵以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，則3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣a

解得：a=0（不合題意舍去），a=（不合題意舍去）

若，則AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=﹣1

∴點(diǎn)P（﹣1，6）

若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且在y軸右側(cè)，則PQ=a＞0

∵以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，則3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=a

解得：a=0（不合題意舍去），a=，

∴點(diǎn)P（，）

若，則AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=11，

∴點(diǎn)P（11，36）

綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）

（3）∵A（0，3），B（4，1）

∴直線AB的解析式：y=﹣x+3

作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)O'（/span>，）

∴OM+DM=O'M+DM

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，則當(dāng)O'，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，OM+DM值最小．

連接O'D交AB于M

∵O'（，），D（2，0）

∴O'D解析式：y=12x﹣24

則

解得：

∴M點(diǎn)坐標(biāo)（ ，）