Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動：動點Q從點D出發(fā)，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點Q運動的時問為t秒．
（1）NC=

 

，MC=

 

．（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？
（3）若△PMC為等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
（2）四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：
①當MP=MC時，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值．
②當CM=CP時，可根據(jù)CM和CP的表達式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值．
③當MP=PC時，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值．
綜上所述可得出符合條件的t的值．

解答：解：（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=

NC

MC

=

4

5

，CM=

5+5t

4

．

（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．

（3）①當MP=MC時（如圖）
則有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t=

2

3

②當CM=CP時（如圖）
則有：
 

5

4

（1+t）=4-t
解得：t=

11

9

③當PM=PC時（如圖）
在Rt△MNP中，PM²=MN²+PN²
而MN=

3

4

NC=

3

4

（1+t），PN=PC-NC=（4-t）-（1+t）=3-2t，
∴[

3

4

（1+t）]²+（3-2t）²=（4-t）^2_，
解得：t₁=

103

57

，t₂=-1（舍去）
∴當t=

2

3

，t=

11

9

，t=

103

57

時，△PMC為等腰三角形．

點評：本題考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)以及數(shù)學(xué)的動點問題和三角函數(shù)的運用．考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．