【題目】已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少?

【答案】
(1)

解:∵y=a(x+3)(x﹣1),

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過點(diǎn)A,

∴b=﹣3 ,

∴y=﹣ x﹣3

當(dāng)x=2時(shí),y=﹣5

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,﹣5 ),

∵點(diǎn)D在拋物線上,

∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ,

解得,a=﹣

則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3


(2)

解:

作PH⊥x軸于H,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí),∠BAC=∠PBA,

∴tan∠BAC=tan∠PBA,即 ,

,即n=﹣a(m﹣1),

解得,m1=﹣4,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣4時(shí),n=5a,

∵△BPA∽△ABC,

,即AB2=ACPB,

∴42=

解得,a1= (不合題意,舍去),a2=﹣

則n=5a=﹣

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣ );

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí),∠CBA=∠PBA,

∴tan∠CBA=tan∠PBA,即 ,

,即n=﹣3a(m﹣1),

,

解得,m1=﹣6,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣6時(shí),n=21a,

∵△PBA∽△ABC,

,即AB2=BCPB,

∴42=

解得,a1= (不合題意,舍去),a2=﹣

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,﹣ ),

綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣ )和(﹣6,﹣


(3)

解:

作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,

則tan∠DAN= = ,

∴∠DAN=60°,

∴∠EDF=60°,

∴DE= EF,

∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= =BE+EF,

∴當(dāng)BE和EF共線時(shí),t最小,

則BE⊥DM,y=﹣4


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo),求出直線的解析式,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;(2)作PH⊥x軸于H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí),t最小即可.本題考查的是二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的交點(diǎn)式、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,解答時(shí),注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)在BD上,BE=DF.
(1)求證:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.

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【題目】某縣為了了解2018年初中畢業(yè)生畢業(yè)后的去向,對(duì)部分九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,就九年級(jí)學(xué)生的四種去向(A.讀普通高中;B.讀職業(yè)高中;C.直接進(jìn)入社會(huì)就業(yè);D.其他)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),并繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖①②)請(qǐng)問:

1)本次共調(diào)查了_ 名初中畢業(yè)生;

2)請(qǐng)計(jì)算出本次抽樣調(diào)查中,讀職業(yè)高中的人數(shù)和所占百分比,并將兩幅統(tǒng)計(jì)圖中不完整的部分補(bǔ)充完整;

3)若該縣2018年九年級(jí)畢業(yè)生共有人,請(qǐng)估計(jì)該縣今年九年級(jí)畢業(yè)生讀職業(yè)高中的學(xué)生人數(shù).

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【題目】中,

1)如圖①,點(diǎn)在斜邊上,以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn),與邊相切于點(diǎn).求證:;

2)在圖②中作,使它滿足以下條件:

①圓心在邊上;②經(jīng)過點(diǎn);③與邊相切.

(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)

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【題目】如圖,已知ACBC,BDAD,AC 與BD 交于O,AC=BD.

求證:(1)BC=AD;

(2)OAB是等腰三角形.

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)求BC邊的長(zhǎng);

(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值.

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【題目】如圖,直線y=﹣ x+2 與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,兩動(dòng)點(diǎn)D,E分別從點(diǎn)A,點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止),運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸的平行線,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G,與AB相交于點(diǎn)F.

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),試判斷△AFG與△AGB是否相似,并說明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF為直角三角形?若存在,求出這時(shí)拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】為了加強(qiáng)對(duì)校內(nèi)外安全監(jiān)控,創(chuàng)建平安校園,某學(xué)校計(jì)劃增加15臺(tái)監(jiān)控?cái)z像設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的設(shè)備,其中每臺(tái)價(jià)格,有效監(jiān)控半徑如表所示,經(jīng)調(diào)查,購(gòu)買1臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買1臺(tái)乙型設(shè)備多150元,購(gòu)買2臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)乙型設(shè)備少400元.

甲型

乙型

價(jià)格(元/臺(tái))

a

b

有效半徑(米/臺(tái))

150

100

1)求a、b的值;

2)若購(gòu)買該批設(shè)備的資金不超過11000元,且要求監(jiān)控半徑覆蓋范圍不低于1600米,兩種型號(hào)的設(shè)備均要至少買一臺(tái),請(qǐng)你為學(xué)校設(shè)計(jì)購(gòu)買方案,并計(jì)算最低購(gòu)買費(fèi)用.

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【題目】1021日,中國(guó)流動(dòng)科技館巡展啟動(dòng)儀式在新華區(qū)青少年活動(dòng)中心盛大舉行,此次巡展以體驗(yàn)科學(xué)為主題.該區(qū)某中學(xué)舉行了科普知識(shí)競(jìng)賽,為了解此次科普知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī),整理并制作出如下的不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示.請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問題.

組別

成績(jī)/

頻數(shù)

A

B

12

C

18

D

21

1)表中一共抽取了________個(gè)參賽學(xué)生的成績(jī);________;

2)求出計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù).

3)若成績(jī)?cè)?/span>90分以上(包括90分)的為優(yōu)等,已知該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校約有多少名學(xué)生的成績(jī)是優(yōu)等.

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