Question

已知：?ABCD的周長為52cm，DE⊥直線BC，DF⊥直線AB，垂足分別為E、F，且DE=5cm，DF=8cm，則BE+BF的值為

 

．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,勾股定理

專題：分類討論

分析：根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進行討論，由?ABCD的周長為52cm，DE⊥直線BC，DF⊥直線AB，垂足分別為E、F，且DE=5cm，DF=8cm，構造方程求解即可求得答案．

解答：解：對于平行四邊形ABCD有兩種情況：
（1）當∠A為銳角時，如圖1，
設BC=acm，AB=bcm，
∵平行四邊形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5cm，DF=8cm，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組

5a=8b① a+b=26②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∴BC=16cm，AB=10cm，
∴AB=CD=10cm，AD=BC=16cm，
∴在Rt△ADE中，CE=5

3

cm，
∴BE=BC-CE=16-5

3

（cm），
∴在Rt△ADF中，AF=8

3

cm，
∵F點在AB的延長線上，
∴BF=AF-AB=8

3

-10（cm），
∴BE+BF=（16-5

3

）+（8

3

-10）=6+3

3

（cm），

（2）當∠D為銳角時，如圖2，
設BC=acm，AB=bcm，
∵平行四邊形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5cm，DF=8cm，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組

5a=8b① a+b=26②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∴BC=16cm，AB=10cm，
∴AB=CD=10cm，AD=BC=16cm，
∴在Rt△ADE中，CE=5

3

cm，
∴BE=BC+CE=16+5

3

（cm），
∴在Rt△ADF中，AF=8

3

cm，
∵F點在AB的延長線上，
∴BF=AF+AB=8

3

+10（cm），
∴BE+BF=（16+5

3

）+（8

3

+10）=26+13

3

（cm），
故答案為：（26+13

3

）cm或（6+3

3

）cm．

點評：本題主要考查平行四邊形的性質，勾股定理，合并同類二次根式等知識點，關鍵在于根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進行討論，根據(jù)平行四邊形的面積公式和周長定理正確的列出方程組，并認真的求解，推出AB和BC的長度，熟練運用數(shù)形結合的思想進行求解．