Question

已知，如圖：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D為△ABC外一點，連接AD、BD，過D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E．
（1）若△ABD是等邊三角形，求DE的長；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=

3

4

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理先計算出DH的長，再利用三角形的中位線可求出EH，則DE的長可求解；
（2）利用角的正切值解直角三角形可求得DH、BH、AH的值，又因為△ABC是等腰直角三角形，所以△AHE也是等腰直角三角形，則EH可求，DE可解．

解答：解：（1）∵△ABD是等邊三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=5，
∴DH=

AD2-AH2

=

102-52

=5

3

，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AEH=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=5，
∴DE=DH-EH=5

3

-5；

（2）∵DH⊥AB，且tan∠HDB=

3

4

，
∴可設BH=3k，則DH=4k，
∴根據(jù)勾股定理得：DB=5k，
∵BD=AB=10，
∴5k=10解得：k=2，
∴DH=8，BH=6，AH=4，
又∵EH=AH=4，
∴DE=DH-EH=4．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，及等腰直角三角形的性質(zhì)，范圍較廣．