Question

（2013•松江區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=

4

5

，以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)AE，DE．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求△AED的面積．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)作CF⊥AB于點(diǎn)F，由AC=15，sin∠CAB=

4

5

求出CF的長(zhǎng)，由勾股定理求出AF的長(zhǎng)，故可得出BF的長(zhǎng)，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理可求出BC的長(zhǎng)；
（2）由（1）中CF⊥AB可知AD=2AF，根據(jù)BC的長(zhǎng)可得出BE的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF，故可得出EG的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△AEG=

1

2

AD•EG即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)作CF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AC=15，sin∠CAB=

4

5

，
∴CF=AC•sin∠CAB=15×

4

5

=12，
在Rt△ACF中，
∵AC=15，CF=12，
∴AF=

AC2-CF2

=

152-122

=9，
∴BF=AB-AF=25-9=16，
在Rt△BCF中，
∵BF=16，CF=12，
∴BC=

BF2+CF2

=

162+122

=20；

（2）∵CF⊥AB，AF=9，
∴AD=2AF=18，
∵BC=20，CE=AC=15，
∴BE=BC-CE=20-15=5，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴

EG

CF

=

BE

BC

，

EG

12

=

5

20

，解得EG=3，
∴S_△AEG=

1

2

AD•EG=

1

2

×18×3=27．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．