Question

（2010•咸寧）已知二次函數y=x²+bx-c的圖象與x軸兩交點的坐標分別為（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）證明4c=3b²；
（2）若該函數圖象的對稱軸為直線x=1，試求二次函數的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由根與系數關系得出等式，消去m，得出b、c的關系式；
（2）根據對稱軸公式可求系數b，代入（1）的結論可求c，可確定二次函數解析式，再求函數的最小值．
解答：（1）證明：依題意，m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的兩根，
根據一元二次方程根與系數的關系，得x₁+x₂=m+（-3m）=-b，x₁•x₂=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m²，
∴4c=3b²=12m²；

（2）解：依題意，，即b=-2，
由（1）得，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴二次函數的最小值為-4．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點橫坐標與一元二次方程根與系數關系的聯系，待定系數法求二次函數解析式的方法．