Question

如圖，在矩形ABEF中，C、D分別是邊BE、AF的中點，AB=10，AF=20，點P、Q分別是BC、CD邊上的點，且AP⊥PQ．
（1）證明：△ABP∽△PQC；
（2）延長PQ交CF于H，求證：AP=PH
（3）在邊AB上是否存在一點G，使四邊形GPHD是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABEF中，C、D分別是邊BE、AF的中點，AB=10，AF=20，易證得四邊形ABCD、CDFE是全等的正方形，即可得∠B=∠PCQ=90°，又由等角的余角相等，即可證得∠APB=∠PQC，則可得：△ABP∽△PQC；
（2）首先在AB上截取AM=PC，易證得△AMP≌△PCH，則可證得AP=PH；
（3）令DG與AP的交點為M，易證得△DAG≌△ABP，即可得DG=AP=PH，DG⊥AP，又由AP⊥PQ，即可證得DG∥PH，即可證得四邊形GPHD是平行四邊形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABEF是矩形，
∴AF=BE，AB=EF，∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°．
又∵AB=10，AF=20，
∴AF=2AB，
∵C、D分別是BE、AF的中點，
∴四邊形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴∠PCD=90°，
∴∠B=∠PCD，∠QPC+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PQC；

（2）證明：在AB上截取AM=PC，
∵四邊形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴AB=BC，∠ECF=45°，
∴BM=BP，∠PCH=135°，
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°，
∴∠AMP=∠PCH，
∵△ABP∽△PQC，
∴∠BAP=∠QPC，
∵在△AMP和△PCH中，

∠MAP=∠CPH AM=PC ∠AMP=∠PCH

，
∴△AMP≌△PCH（ASA），
∴AP=PH；

（3）滿足條件的點G是存在的，此時AG=BP．　　
證明如下：令DG與AP的交點為M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAG=∠ABP，
∵在△DAG和△ABP中，

DA=AB ∠DAG=∠ABP AG=BP

，
∴△DAG≌△ABP（SAS），
∴DG=AP，∠AGD=∠BPA．
∵AP=PH，∠BAP+∠BPA=90°，
∴DG=HP，∠BAP+∠AGD=90°，
∴∠AMG=90°，
即AP⊥DG，
∵AP⊥PH，
∴DG∥PH，
∴四邊形GPHD是平行四邊形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．