Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，拋物線與軸的另一交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，求的最大值；

（3）若是線段上一動點(diǎn)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）由對稱軸的對稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；
（3）分兩種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，結(jié)合相似三角形求解.

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱且，

∴.

∴設(shè)拋物線的解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為，

即.

（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè)

則.

∴，.

∴

.

∴當(dāng)時(shí)，.

（3）分以下兩種情況：

①如圖所示：當(dāng)時(shí)，

∵，

∴只能.

∵，，

設(shè)BC解析式為：y=kx+m，將B，C代入，

可得：k=-2，m=8，

∴直線的解析式為.

設(shè)點(diǎn)，

則，，.

在中，

.

∵，

∴.

∴，即，

.

∴.

∵，

∴，.

∴.

②如圖所示：當(dāng)時(shí)，

∵，

∴只能.

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，

則，，.

由①得：，.

∵，，

∴.

∴，即

∴，

∵，，

∴.

∴.

∴.

∵軸于點(diǎn)，，

∴，.

∴.

又∵，

∴

∴，即，

∴

∴，

∴，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.